射影定理

编辑:熬煎网互动百科 时间:2020-02-28 12:37:41
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射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。
概述图中,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:
BD²=AD·CD
AB²=AC·AD
BC²=CD·AC
由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出
中文名
射影定理
外文名
Right triangle altitude theorem
别    称
欧几里德定理 第一余弦定理
表达式
BD²=AD·DC  AB²=AC·AD  BC²=CD·AC
提出者
欧几里得
提出时间
1678年
应用学科
数学几何
适用领域范围
建筑,测量,光学,航海,航空和制造业
适用领域范围
数学图形三角形
记载著作
几何原本

射影定理验证推导

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①CD^2=AD·BD;②AC^2=A
D·AB;③BC^2=BD·AB;④AC·BC=AB·CD
证明:①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2
∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2
∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2
∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2
∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^2-AD^2-BD^2
∴2CD^2=2AD·BD
∴CD^2=AD·BD
②∵CD^2=AD·BD(已证)
∴CD^2+AD^2=AD·BD+AD^2
∴AC^2=AD·(BD+AD)
∴AC^2=AD·AB
③BC^2=CD^2+BD^2
BC^2=AD×BD+BD^2
BC^2=(AD+BD)·BD
BC^2=AB·BD
∴BC^2=AB·BD
④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD
∴1/2AC×BC=1/2AB×CD
∴AC×BC=AB×CD

射影定理定理内容

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欧几里得提出的面积射影定理projective theorem规
射影定理的推广证明 射影定理的推广证明
定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原)。”
(平面多边形及其射影的面积分别是
,它们所在平面所成的二面角为
)

射影定理证明思路

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正射影二面角的欧几里得射影面积公式 正射影二面角的欧几里得射影面积公式
因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度(三角形中称高)的比。
那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线),则三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。

射影定理发展简史

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欧几里得(希腊文:Ευκλειδης ,公元前32
直角三角形中的射影定理 直角三角形中的射影定理
5年—公元前265年),古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-公元前283年)时期的亚历山大里亚。
他最著名的著作《几何原本》欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品
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理学